Gaya pemulih berbanding lurus dengan perpindahan dari kesetimbangan Gaya pemulih adalah gaya penggerak osilasi harmonik.
Dalam rangkaian LC gaya pemulih disebabkan oleh gaya tolak elektrostatik antara elektron yang cenderung mendistribusikan elektron secara merata pada pelat kapasitor, untuk membuat tidak ada muatan bersih, tetapi di sisi lain induktor cenderung menentang redistribusi elektron ini (yaitu) menentang peningkatan arus setiap saat, tegangan melintasi induktor adalah ({{V}_{L}}=-Lfrac{di}{dt}=-Lfrac{{{d}^{2}}q }{d{{t}^{2}}})
Tanda minus menunjukkan bahwa tegangan berlawanan dengan kenaikan arus. Tetapi dengan menerapkan hukum kirchoff pada rangkaian LC yang diberikan, penurunan potensial pada induktor harus sama dengan penurunan potensial pada kapasitor.
VL = VC
(Lfrac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}=frac{q}{c}) (frac{{{d}^{2}} q}{d{{t}^{2}}}=-{{omega }^{2}}q) (omega =frac{1}{sqrt{LC}}) (frac{{{ d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+{{omega }^{2}}q=0,…………….1)
Persamaan 1 di atas dikenal sebagai persamaan diferensial osilasi harmonik. Yang menyerupai osilasi harmonik mekanis sebagai
(frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+{{omega }^{2}}x=0,…………….1a)
Dalam rangkaian listrik, (yaitu) muatan rangkaian LC berosilasi secara harmonis dengan frekuensi sudut
(omega =frac{1}{sqrt{LC}})dan (T=2pi square{LC})
Solusi umum persamaan 1 a menjadi(kiri. begin{matriks} x(t)=Acos (omega t+phi ) begin{align} & sama,for,persamaan,1 & q(t)={{ q}_{0}}cos (omega t+phi ) end{align} end{matrix} right}…..2)
.
Persamaan 2 memberikan setiap muatan instan sebagai fungsi waktu. Di mana
({{q}_{0}}-ismax imum,muatan e) (phi -fase,of,the,elektron,osilasi)
Jika kita membedakan persamaan 2 terhadap waktu, kita bisa mendapatkan arus sebagai fungsi waktu pada setiap saat
(kiri. mulai{matrix} i=frac{dq}{dt}=-omega {{q}_{0}}sin (omega t+phi ) i=-{{i}_{0}}sin (omega t+phi ),…… end{matriks} kanan}…….3)
Di mana
io = qo = arus maksimum
qo = cvo dan (omega =frac{1}{sqrt{LC}}) lalu ({{i}_{o}}={{v}_{o}}sqrt{frac{C}{L }})
Dari pembahasan di atas kita simpulkan pada rangkaian LC muatan berosilasi secara harmonis.
Metode alternatif:
Pada rangkaian LC tidak ada faktor redaman (yaitu) Resistor (R). Jadi ada Energi yang hilang setiap saat total energi yang tersimpan dalam rangkaian (UTotal) sama dengan jumlah energi yang tersimpan di kapasitor dan induktor.
Energi total dalam rangkaian (UTotal)
({{U}_{total}}=frac{1}{2}L{{i}^{2}}+frac{{{phi }^{2}}}{2c}…………4 )
Sejak,
Tidak ada faktor Redaman, Energi tetap konstan (frac{d{{U}_{Total}}}{dt}=0) (frac{d}{dt}kiri( frac{1}{2}L {{i}^{2}}+frac{{{phi }^{2}}}{2c} kanan)=0)
Di mana
L dan c = konstanta
i dan q = adalah variabel
(Lifrac{di}{dt}+frac{1}{c}qfrac{dq}{dt}=0,…………..5) (frac{dq}{dt}=i,dan, frac{di}{dt}=frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}) (frac{{{d}^{2}}q} {d{{t}^{2}}}+frac{q}{LC}=0,,………….6)
Kita tahu,
(omega =frac{1}{sqrt{Lc}}=sqrt{frac{K}{m}}) (frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{ 2}}}+{{omega }^{2}}q=0,………….7)
Persamaan 7 ini mirip dengan persamaan diferensial linier dari osilator harmonik sederhana yang terdiri dari pegas dan massa.
(frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+{{omega }^{2}}x=0,…………..8)
Solusi umum persamaan ini menjadi
x = A cos (ꞷt + )
A – perpindahan maksimum (yaitu) Amplitudo
– adalah fase konstan
dengan membandingkan persamaan 7 dan 8
(q={{q}_{0}}cos (omega t+phi )……..9)
q0 = adalah muatan maksimum
– adalah fase konstan
maka arus setiap saat adalah (i=frac{dq}{dt}=-omega {{q}_{0}}sin (omega t+phi )………..10)
Dengan mensubstitusi kondisi awal pada persamaan 9 dan 10
Pada saat t = 0, = 0
q = q0 cos t dan
i = i0 sin t
Energi osilator Harmonik:
Dari pembahasan kita melihat rangkaian LC menyerupai sistem pegas – massa yang keduanya memiliki karakteristik frekuensi.
Untuk memahami osilasi rangkaian LC Mari kita asumsikan bahwa,
Kasus (I): pada saat (t = 0)
Muatan yang melintasi kapasitor adalah q dan arus dalam induktor (i) = 0. Sekarang energi yang tersimpan dalam rangkaian akan sama dengan energi elektrostatik yang tersimpan pada kapasitor ({{E}_{c}}=frac{{{Q }^{2}}}{2c}…….(i)(16))
Energi yang tersimpan dalam induktor adalah nol karena arus yang melewati induktor adalah nol.
Kasus (II) : pada saat (t = t)
Setelah waktu (t) kapasitor mulai mengeluarkan muatan melalui induktor, arus (i) akan mengalir melintasi induktor (i=frac{dq}{dt}). i mulai meningkat, ketika i meningkat q akan mulai menurun. Ketika q mencapai nol kapasitor benar-benar habis, pada saat ini arus akan mencapai maksimum. Sekarang energi yang tersimpan dalam rangkaian akan sepenuhnya menjadi energi magnet karena q = 0 dan I = maksimum.
({{E}_{L}}=frac{1}{2}L{{i}^{2}},…………(ii))
Seluruh energi disimpan di induktor saja.
Kasus (III):
Arus besar di induktor mulai mengangkut muatan ke pelat kapasitor dan kapasitor diisi lagi setelah mencapai muatan maksimum, ia akan mulai mengeluarkan muatan lagi tetapi sekarang arus mengalir ke arah yang berlawanan. Akhirnya arus kembali ke nilai awalnya dan proses terus berlanjut.
Pertukaran energi terjadi antara kapasitor dan induktor masing-masing dalam bentuk energi elektrostatik dan energi magnet, tetapi energi total sistem adalah kekal.
Energi = konstan
Di sini tidak ada rugi-rugi energi, karena tidak ada faktor redaman (yaitu) komponen resistor sehingga energi kekal ({{E}_{Total}}={{E}_{C}}+{{E}_{ L}}) (=frac{{{q}^{2}}}{2c}+frac{1}{2}L{{i}^{2}}=konstanta,…………. .(aku aku aku))
Sejak,
q = qo cos t
i = – io sin t = – qo sin t
({{E}_{Total}}=frac{q_{0}^{2}{{cos }^{2}}omega t}{2c}+frac{1}{2}L{{omega } ^{2}}q_{0}^{2}{{sin }^{2}}omega t) (=frac{q_{0}^{2}{{sin }^{2}}omega t }{2c}+frac{q_{0}^{2}cos {{t}^{2}}omega t}{2c})
= (=frac{q_{0}^{2}}{2c}[{{sin }^{2}}omega t+{{cos }^{2}}omega t]) ({{E} _{Total}}=frac{q_{0}^{2}}{2c}…………..(iv))
Energi total sistem adalah konstan dan sama dengan energi awal.
Representasi grafis dari muatan (q) dan arus (i) sebagai fungsi waktu
|
Sistem massa pegas |
osilator LC |
|
(frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+{{omega }^{2}}x=0) |
(frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+{{omega }^{2}}q=0) |
|
(frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+frac{k}{m}x=0) |
(frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+frac{1}{LC}=0) |
|
x = A cos (ꞷt + ) |
q = q0 cos (ꞷt + ) |
|
(V=frac{dx}{dt}=-omega Asin (omega t+phi )) |
(i=frac{dq}{dt}=-omega {{q}_{0}}sin (omega t+phi )) |
|
(a=frac{dv}{dt}=-{{omega }^{2}}Acos (omega t+phi )) |
(frac{di}{dt}=frac{{{V}_{L}}}{L}=-omega _{{}}^{2}{{q}_{0}}cos (omega t +phi )) |
|
(frac{1}{c}) |
K |
|
L |
M |
|
(omega =frac{1}{sqrt{LC}}) |
(omega = kuadrat{frac{K}{m}}) |
|
({{E}_{c}}={{U}_{c}}=frac{{{q}^{2}}}{2c}) |
(PE=U=frac{1}{2}K{{x}^{2}}) |
|
({{E}_{L}}={{U}_{L}}=frac{1}{2}L{{i}^{2}}) |
(KE=frac{1}{2}m{{v}^{2}}) |