Kategori: Matematika

a.    (-8, 0)
b.    (-4, 0)
c.    (0, 8)
d.    (0, -8)
e.    (-4, 8)
Jawab. d. (0, -8)
Pembahasan:
Diketahui y = x2 – 4x – 8
Titik potong  dengan sumbu y diperoleh jika x = 0. [adsense1]
y = x2 – 4x – 8
= 0 – 0 – 8
= -8
Jadi grafik fungsi  y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik (0, -8)
2.    Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah:
a.    x = -1 atau x = 2
b.    x = -3 atau x = -4
c.    x = 1 atau x = -2
d.    x = 1 atau x = 2
e.    x = -3 atau x = 4
jawab: e. x = -3 atau x = 4

http://www.sridianti.com/wp-content/uploads/2014/09/soal-fungsi-kuadrat.zip
Pembahasan:
Diketahui y = x2 – x – 12
Pembuat nol fungsi kuadrat diperoleh jika y = 0
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
x = -3  x = 4
3.    Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 – 2x – x2 adalah:
a.    x = 4
b.    x = 2
c.    x = 1
d.    x = -1
e.    x = -2
Jawab: d. x = -1
Pembahasan:
y = 8 – 2x – x2 → a = -1, -2, c = 8
Persamaan sumbu simetri:

4.    Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a adalah:
a.    1/6
b.    1/3
c.    3
d.    10
e.    20
Jawab: e. 20
Pembahasan :
Nilai maksimum y = ax2 + 4x + 3a adalah

-11 =
-11 =
3a2 – 4 = -11a
3a2 + 11 a = 0
(3a – 1)(a + 4) = 0
A = 1/3  a = -4
Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang memenuhi adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20
5.    Sumbu simetri kurva y = 2×2 + 6x – 5 diperoleh pada garis …

Jawab: e. x =
Pembahasan:
Pembahasan sumbu simetri:

6.    titik balik fungsi f(x) = x2 – 4x – 21 adalah:
a.    (-3, 27)
b.    (2, -25)
c.    (0, -21)
d.    (1, -24)
e.    (-2, 25)
Jawab: e. (-2, 25)
Pembahasan:
Persamaan sumbu simetri:

Jadi titik balik (2, -25)
7.    Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah:
a.    (-2, 3)
b.    (-1, 4)
c.    (-1, 6)
d.    (1, -4)
e.    (1, 4)
Jawab: b. (-1, 4)
Pembahasan:
f(x) = 3 – 2x – x2 → a = -1, b = -2, c = 3

f(-1) = 3 – 2(-1) – (-1)2
= 3 + 2 – 1 = 4
Jadi titik baliknya adalah (-1, 4).
8.    Grafik fungsi kuadrat yang persamaanya y = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu x. salah satu titik potongnya adalah (½. 0). Nilai a sama dengan:
a.    -32
b.    -2
c.    2
d.    11
e.    22
Jawab: c. 2
Pembahasan:
Melalui titik  (½. 0), maka:
y = ax2 – 5x – 3
0 =

a = 2
9.     Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x, maka nilai k tidak mungkin sama dengan:
a.    -10
b.    -8
c.    -6
d.    -4
e.    -2
Jawab: a. -10
Pembahasan:
y = kx2 + (k – 3)x – 4
grafik seluruhnya di bawah sumbu x, maka syratnya adalah:
(1) k < 0
(2) D < 0
b2 – 4ac < 0
(k – 3)2 – 4. K(-4) < 0
k2 – 6k + 9 + 16k < 0
k2 + 10k + 9 < 0
(k + 9)(k + 1) < 0
-9 < k < -1
k < 0 dan -9 < k < -1 → -9 < k < -1
berarti k tidak mungkin -10.
10.    Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a + 1)x + 2a = 0 adalah p dan q. nilai minimum dari p2 + q2 dicapai untuk a sama dengan:
a.    -2
b.    -1
c.    0
d.    1
e.    2
Jawab: d. 1
Pembahasan:
x2 + (a + 1)x + 2a = 0
p + q = -(a + 1)
pq = 2a
p2 + q2 = (p + q)2 – 2pq
= (-(a + 1))2 – 2(2a)
= a2 – 2a + 1

SOAL ESSAY FUNGSI KUADRAT
1.    Tentukan batas p jika f(x) = (p + 1)x2 – 2px + p – 4 definisi negatif.
Pembahasan:
f(x) = (p + 1)x2 – 2px + p – 4
a = (p + 1); b = -2p; c = p – 4
D = (-2p)2 – 4. (p + 1). (p – 4)
= 12p + 16
Syarat definitif D < 0 dan a < 0
D < 0  12p + 16 < 0
p <           ……………… (1)
a <    p + 1 < 0
p < -1         ……………….(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh P < -4/3
2.    Tentukan batas p jika f(x) = (p + 1)x2 + (p + 2)x – p + 1 definitif positif.
Pembahasan:
f(x) = (p + 1)x2 + (p + 2)x – p + 1
a = p + 1; b =  p + 2; c = -(p – 1)
D = (p + 2)2 – 4(p + 1). (-(p – 1))
= p2 + 4p + 4 + 4(p2 – 1)
=p2 + 4p + 4 + 4p2 – 4
= 5p2 + 4p
Syarat definitif positif: D < 0 dan a > 0.
D < 0  5p2 + 4p < 0
p(5p + 4) < 0
-4/5 < p < 0     …………..(1)
a > 0  p + 1 > 0
p > – 1         …………..(2)
dari (1) dan (2) diperoleh -4/5 < p < 0.
3.    Grafik fungsi y = mx2 – (m + n)x + 4. Melalui titik (2, -2) dan mempunyai sumbu simetri garis 2x – 5 = 0. Tentukan nilai m dan n.
Pembahasan:
y = mx2 – (m + n)x + 4
melalui (2, -2)
4m – 2m – 2n + 4 = -2
2m – 2n = -6
m – n = -3         …………..(1)
sumbu simtris garis x =

n = 4m
Dari (1) dan (2) diperoleh m = 1 dan n = 4.

 

4.    Tentukan interval grafik fungsi y = 2×2 – 5x – 3 berada diatas sumbu x.
Pembahasan:
y = 2×2 – 5x – 3
grafik berada di atas sumbu x jika y > 0
2×2 – 5x – 3 > 0
(2x + 1)(x -3) > 0
Jadi x < – ½ atau x > 3
5.    Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2×2 + 3x – 2 ≤ 0
Pembahasan:
2×2 + 3x – 2 ≤ 0
Pembuat nol
2×2 + 3x – 2 = 0
(2x – 1)(x + 2) = 0
x = ½   x = -2

Jadi Hp = {x|-2 ≤ x ≤ ½}
FUNGSI KUADRAT
1.    Batas-batas nilai m agar fungsi kuadrat f(x) = (3m + 1)x2 – (5m – 1)x (m +4) definitif positif adalah:
a.    m  > –
b.    – < m 5
c.    – < m < 5
d.    m < –  atau m > 5
e.    m < –  atau m > 5
jawab : c. –  < m < 5
pembahasan:
f(x) = (3 m + 1)x2 – (5m – 1)x+ (m + 4)
fungsi definit positif, maka haruslah memenuhi syarat a > 0 dan D < 0.
(i) a > 0    3m + 1 > 0   3m > – 1   m >
(ii) D <   b2 – 4ac < 0
(-(5m – 1))2 – 4(3m + 1)(m + 4) < 0
25m2 – 10m + 1 – 4(3m2 +13m + 4)<0
13m2 – 62m – 15 < 0
(13m + 3)(m – 5) < 0   – <m<5
Dari I dan ii di peroleh –  < m < 5.
2.    grafik fungsi kuadrat yang melalui tititk-titik A(-2, 17).
B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan…
a.    y = x2 + 3x – 7
b.    y = x2 +3x – 3
c.    y = x2 + 3x – 3
d.    y = x2 + 3x – 3
e.    y = x2 – 3x + 7
f.    jawab: e. y = x2 – 3x + 7
pembahasan
misal persamaan fungsi kuadrat itu adalah:
y = ax2 + bx + c
melalui titik A(-2, 17):
17 = a(1)2 + b(-2) + c  4a – 2b + c = 17 …(1)
Melalui titik B(1, 5):
5 = a(1)2  + b(1) + c  a + b + c = 5 …(2)
Melalui titik c(4, 11):
11 = a(4)2 + b(4) + c  16a + 4b + c =11 …(3)
Eliminasi c
4a – 2b + c = 17

5a + b = 2 ….(5)
Dari persamaan (4) dan ( 5) di peroleh:
A –b = 2
+
a = 1  5(1) + b = 2
b = -3
jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah
y = x2 – 3x + 7

3.    nilai a agar grafik fungsi
y = (a – 1)x2 – 2ax + (a – 3)
selalu berada di bawah sumbu X (definit negatif) adalah
a.    a = 1
b.    a > 1
c.    a < 1
d.    a >
e.    a <
jawab: e. a <
pembahasan:
y  = (a – 1)x2 – 2ax + (a – 3) dimana a = a -1,
b = -2a, c = a -3
definit negatif syaratnya D < 0 dan a < 0.
(i) D < 0
B2 – 4ac < 0
(2a)2 – 4(a – 1)(a – 3) < 0
4a2 – 4(a2 – 4a + 3) < 0
4a2  – 4a2 + 16a – 12 < 0
16a – 12 < 0
16a < 12
A <
(ii) a < 0
a – 1 < 0
a < 0
dari (i) dan (ii) diperoleh a <
4.    batas batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 2px + 3p + 4
definit positif adalah:
a.    -4 < p < – 1
b.    -1 < p <4
c.    1 < p <4
d.    p < -1
e.    p < 4
f.    jawab: b. -1 < p <4
pembahasan:
f(x) = x2 – 2px + 3p + 4
a = 1 ; b = -2p; c = 3p + 4
D = (-2p)2 – 4 . (1) . (3p + 4)
=4p2 – 12p -16
Syarat definit negatif : D < 0 dan a < 0
D < 0  4p2 – 12p – 16 < 0
P2 – 3p – 4 < 0
(p + 1)(p – 4) <  0
-1 < p < 4
5.    grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4) dan melalui titik (2, -3) persamaan adalah ….
a.    y = 2×2 – 2x – 12
b.    y = 2×2 – x – 5
c.    y = x2 – 2x – 4
d.    y = x2 2x – 3
e.    y = x2 + 2x – 7
f.    jawab: d. y = x2 2x – 3
pembahasan:
titik balik grafik fungsi kuadrat (2, -4) maka;
y = a(x – p)2 + q
= a(x – 1)2 – 4
Melalui titik (2, -3) maka:
Y =  a(x – 1)2 -3
-3 =a(2 – 1)2 -4
a = 1
jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = a(x – )2-4
= 1(x – 1)2-4
=x2 – 2x + 1-4
=x2 – 2x -3
6.    Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-4, 0) dan (3, 0) serta memotong sumbu Y di titik (0, -12) mempunyai persamaan :
a.    y  = x2 – x – 12
b.    y = x2 + x – 12
c.    y = x2 + 7x – 12
d.    y = x2 – 7x – 12
e.    y = -x2 + 7x – 12
Jawab: b. y = x2 + x – 12
Pembahasan:
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (-4, 0) dan (3, 0) maka:
y = a(x – x1)(x – x2)
= a(x + 4)(x – 3)
Memotong sumbu Y di titik (0, -12) maka:
y = a(x + 4)(x – 3)
– 12 = a(0 + 4)(0 – 3)
a = 1
jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = a(x +4)(x – 3)
= 1(x + 4)(x – 3)
= x2 – 3x + 4x – 12
= x2 + x – 12
7.    Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0), serta melalui titik (0, 4) adalah:
a.    y = 4 – x2
b.    y = 4 + x2
c.    y = x2 – 4
d.    y = 2×2 – 4
e.    y = 4 – 2×2
jawab: a. y = 4 – x2
Pembahasan:
Memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0) maka:
y = a(x – x1)(x – x2)
= a(x – (-2))(x – 2)
= a(x + 2)(x – 2)
Melalui titik (0, 4), maka:
4 = a(0 + 2)(0 -2)
4 = a(2)(-2)
a = -1
jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = -1(x + 2)(x – 2)
= 4 – x2
8.    Grafik fungsi y = ax2 + bx + c memotong sumbu X di titik dengan absis 0 dan 2. Puncaknya di titik (1, 1). Fungsi itu adalah:
a.    y = x2 – 2x – 2
b.    y = x2 + 2x – 2
c.    y = x2 + 2x
d.    y = -x2 – 2x
e.    y = -x2 + 2x
Jawab: e. y = -x2 + 2x
Pembahasan:
Memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (2, 0) maka:
y = a(x – x1)(x – x2)
= a(x – 0)(x – 2)
= ax (x – 2)
Puncak titik (1, 1), maka:
1 = a.1(1 – 2)
1 = -a
a = -1
jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = -1 . x(x – 2)
y = -x2 + 2x
9.    Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0, nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah:
a.    f(x) = x2 – 6x + 8
b.    f(x) = x2 + 6x + 8
c.    f(x) = 2×2 – 12x – 16
d.    f(x) = 2×2 – 12x + 16
e.    f(x) = 2×2 + 12x + 16
Jawab: d. f(x) = 2×2 – 12x + 16
Pembahasan:
Puncak titik (3, -2), maka:
y = a(x – xp)2 + yp
= a(x – 3)2 – 2
Melalui titik (0, 16), maka:
y = a(x – 3)2 – 2
16 = a(0 – 3)2 – 2
18 = 9a
a = 2
jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = 2(x – 3)2 –2
y = 2×2 – 12x + 16
10.    Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 7), (2, 6), dan (-2, -2) adalah:
a.    y = 2×2 + x + 6
b.    y = 2×2 – x + 6
c.    y = x2 + 2x + 6
d.    y = -x2 + 2x + 6
e.    y = -x2 – 2x + 6
Jawab: d. y = -x2 + 2x + 6
Pembahasan:
y = ax2 + bx + c
melalui titik (1, 7), maka:
7 = a + b + c         …………(i)
Melalui titik (2, 6) maka:
6 = 4a + 2b + c      …………(ii)
Melalui titik (-2,-2) maka:
-2 = 4a – 2b + c     …………(iii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh
a + b + c     = 7         |x4|    4a + 4b + 4c     = 28
4a – 2b + c     = 6        |x4|    4a + 2b + c     = 6 –
2b + 3c     = 22 (iv)
Dari (ii) dan (iii) diperoleh
4a + 2b + c     = 6
4a – 2b + c     = -2 –
4b     = 8
b     = 2
b = 2 di subtitusikan ke (iv) :
2b + 3c = 22
2.2 + 3c = 22
c = 18
c = 6
b = 2 dan c = 6 di subtitusikan ke (i)
a + b + c = 7
a + 2 + 6 = 7
a = -1
jadi persamaan fungsi kuadrat yang di maksud adalah y = -x2 + 2x + 6

SOAL ESSAY FUNGSI KUADRAT
1.    Tentukan nilai k agar grafik fungsi f(x) = x2 – (k +3)x + (3k + 1) menyinggung sumbu X.
Pembahasan:
f(x) = x2 – (k +3)x + (3k + 1) berarti a = 1
b = -(k + 3), dan c = 3k + 1
Nilai diskriminan:
D = b2 – 4ac = (-(k +3))2 – 4(1)(3k + 1)
= k2 + 6k + 9 – 12k – 4 = k2 – 6k + 5
Syarat agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X adalah D = 0.
k2 – 6k + 5 = 0
(k – 1)(k – 5) = 0
k = 1 atau k = 5
jadi agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X, maka nilai k = 1 atau k = 5.
2.    Diketahui fungsi kuadrat f dengan f(x) = x2 + 3mx + (4m + 1)
Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
Pembahasan:
f(x) = x2 + 3mx + (4m + 1), berarti a = 1, b = 3m, dan c = 4m + 1
nilai diskriminan
D = b2 – 4ac = (3m)2 – 4(1)(4m + 1)
= 9m2 – 16 m – 4
Syarat agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik yang berbeda adalah D > 0.
9m2 – 16m – 4 > 0
(9m + 2)(m – 2) > 0
m <   atau  m > 2
3.    Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang bernilai negatif untuk 1 < x < 3 dan f(0) = 3.
Pembahasan:
f(x) = a(x – 1)(x – 3)
f(0) = 4 → 3 = a(0 – 1)(0 – 3)
a = 1
f(x) = 1(x – 1)(x – 3)
= x2 – 4x + 3
4.    Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0) dan mempunyai puncak P(2, -1).
Pembahasan:
Puncak (2, -1) maka:
y = a(x – 2)2 – 2
melalui (1, 0) maka:
0 = a(1 – 2)2 – 1
a = 1
jadi persamaannya adalah:
y = 1(x – 2)2 – 1
y = x2 – 4x + 3
5.    Parabola f(x) mempunyai nilai minimum – 2 untuk x = 1 dan f(2) = 0. Tentukan persamaan parabola tersebut.
Pembahasan:
Minimum – 2 untuk x = 1
f(x) = a(x -1)2 – 2
f(2) = 0  0 = a(2 – 1)2 – 2
a = 2
jadi persamaannya adalah :
y = 2(x – 1)2 – 2
y = 2×2 – 4x

 

Selengkapnya artikel dapat dilihat di bawah artikel:
1.    Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12 ≤ 0 adalah:
a.    {x ≤ -3}
b.    {x ≤ 4}
c.    {x ≤ -3 atau x ≥ 4}
d.    {3 ≤ x ≤ – 4)
e.    {-3 ≤ x ≤ 4)
Jawab: e. {-3 ≤ x ≤ 4)
Pembahasan
x2 – x – 12 ≤ 0
(x + 3)(x – 4) ≤ 0
Hp = {x|-3 ≤ x ≤ 4}
2.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2 adalah: [adsense1]
a.    {x|-4 ≤ x -1}
b.    {x|-4 ≤ x 1}
c.    {x|1 ≤ x 4}
d.    {x|x ≤ -1 atau x ≥ 1}
e.    {x|x ≤ 1 atau x ≥ 4}
Jawab: c. {x|1 ≤ x 4}
Pembahasan:
9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2
9(9×2 – x + 4) ≤ x2 + 4x + 4
9×2 – 36x + 36 ≤ x2 + 4x + 4
8×2 – 40x + 32 ≤ 0
x2 – 5x + 4 ≤ 0
(x – 1)(x – 4) ≤ 0
1 ≤ x ≤ 4
3.    Himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 5x – 14 ≤ 0, x ɛR adalah:
a.    {x|x < 2 atau x > 7, x ɛR}
b.    {x|x < -2 atau x > 7, x ɛR}
c.    {x|x < -7 atau x > -2, x ɛR}
d.    {x|-2 < x < 7, x ɛR}
e.    {x|-2 < x ≤ 7, x ɛR}
Jawab: e. {x|-2 < x ≤ 7, x ɛR}
Pembahasan:
x2 – 5x – 14 ≤ 0
x2 – 5x – 14 = 0
(x – 7)(x + 2) = 0
x1 = 7 atau x2 = -2
Ambil x = 0  x2 – 5x – 14 = 0 = -14 (negatif)

+        +
-2     7
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:
{x|-2 < x ≤ 7, x ɛR}
4.    Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2×2 + 5x + 15 < 3×2 + 5x – 1, untuk x ɛR adalah:
a.    {x|x < 4 atau x > 4, ɛR}
b.    {x|x < -4 atau x > 4, ɛR}
c.    {x|x < -4 atau x > 1, ɛR}
d.    {x|x -4 < x > 1, ɛR}
e.    {x|x -4 ≤ x > 1, ɛR}
Jawab: b. {x|x < -4 atau x > 4, ɛR}
Pembahasan:
2×2 + 5x + 15 < 3×2 + 5x – 1
2×2 + 5x + 15 – 3×2 – 5x + 1 < 0
-x2 + 16 < 0
x2 – 16 > 0
pembuat nol:
(x – 4)(x + 4) = 0
x = 4 atau x = -4
ambil x = 0
x2 – 16 = 02 – 16 = -16 (negatif)

+    –        +
-2        7
Jadi himpunan penyelesaian adalah:
{x|x < -4 atau x > 4, ɛR}
5.    Penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 13x – 10 > 0 adalah:
a.    x <  atau x > 10
b.    x <  atau x >
c.    x <  atau x > 5
d.     < x < 5
e.     < x < 10
Jawab: c. x <  atau x > 5
Pembahasan:
3×2 – 13x – 10 > 0
(3x + 2)(x – 5) > 0
x <  atau x > 5

6.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 2x – 8 > 0, untuk x ɛ R adalah:

a.    {x|x > 5 atau x <   }
b.    {x|x > 2 atau x <   }
c.    {x|x >   atau x < 2 }
d.    {x|  < x < 2 }
e.    {x|  < x < 2 }

Jawab: b. {x|x > 2 atau x <   }
Pembahasan:
3×2 – 2x – 8 > 0
(3x + 4)(x – 2) > 0 (positif)
x = 2

+    –        +
2
Jadi Hp = {x|x > 2 atau x <   }
7.    Himpunan penyelesaian dari 24 + 5x – x2 ≤ 0 adalah:
a.    {x|x ≤ -3 atau x ≥ 8}
b.    {x|x ≤ -3 atau x ≥ -8}
c.    {x|x ≤ 3 atau x ≥ 8}
d.    {x|x ≤ 1/3 atau x ≥ 8}
e.    {x|x ≤ -1/3 atau x ≥ 8}
Jawab: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 8}
Pembahasan :
24 + 5x – x2 ≤ 0
x2 – 5x – 24 ≥ 0
(x + 3)(x – 8) ≥ 0
X ≤ -3 atau x ≥ 8
8.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x + 1)(2x + 3) ≥ 1 adalah:
a.    {x|x ≤ -1/2 atau c ≥ 2}
b.    {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2}
c.    {x|-2 ≤ atau c ≥ -1/2}
d.    {x|-2 ≤ x ≤ -1/2}
e.    {x|-1/2 ≤ x ≤ 2}
Jawab: b. {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2}
Pembahasan:
(x + 1)(2x + 3) ≥ 1
x = – ½   x = -2

+    –        +
-2        -½
Jadi Hp = {x|x ≤ -2 atau c ≥ -1/2}
9.    Himpunan penyelesaian pertidaksaman 2(x + 1)2 < 3×2 + 6(x – 1) adalah:
a.    {x|-4 < x < 2, x ɛ R}
b.    {x|-2 < x < 4, x ɛ R}
c.    {x|2 < x < 4, x ɛ R}
d.    {x|x < -4 atau x > 2, x ɛ R}
e.    {x|x < -2 atau x > 4, x ɛ R}
Jawab: d. {x|x < -4 atau x > 2, x ɛ R}
Pembahasan:
2(x + 1)2 < 3×2 + 6(x – 1)
2(x2 + 2x + 1) < 3×2 + 6x – 6
2×2 + 4x + 2 < 3×2 + 6x – 6
– x2 – 2x + 8 <0
x2 + 2x – 8 > 0
(x + 4)(x – 2) > 0
x < – 4 atau x > 2
10.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan –2×2 – 5x + 3 ≤ 0, x ɛ R adalah:
a.    {x|x ≤ -3 atau x ≥ ½}
b.    {x|x ≤ -½ atau x ≥ 3}
c.    {x|-3 ≤ x atau x ≥ ½}
d.    {x|½ ≤ x ≥ 3}
e.    {x|x ≤ -3 atau x ≥ -½}
Jawab: a. {x|x ≤ -3 atau x ≥ ½}
Pembahasan:
–2×2 – 5x + 3 ≤ 0 (dikalikan – 1)
2×2 + 5x – 3 ≥ 0
(2x – 1)(x + 3) ≥ 0 (positif)
Pembuat nol adalah
(2x – 1)(x + 3) = 0
x = ½   x = -3

+    –        +
-3        ½
Jadi, Hp = {x|x ≤ -3 atau x ≥ ½}
SOAL ESSAY PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
1.    Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:
a.    48 + 2x – x2 > 0
b.    4(x + 3)2 ≤ (x + 1)2
Pembahasan:
a.     48 + 2x – x2 > 0
x2 – 2x – 48 > 0
(x + 6)(x – 8) < 0
-6 < x <8
b.    4(x + 3)2 ≤ (x + 1)2
4(x2 + 6x + 9) ≤ x2 + 2x + 1
(x + 5)(3x + 7) ≤ 0
-5 ≤ x ≤ -7/3
2.    Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3 + 8x – 3×2 > 0.
Pembahasan
3 + 8x – 3×2 > 0
(1 + 3x)(3 – x) > 0
NilI yang diharapkan adalah yang lebih dari nol atau positif. Hal itu akan terpenuhi pada selang interval – 1/3 dan 3. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x| – 1/3 < x < 3}
3.    Tentukan himpunan penyelesaian dari 4×2 – 19x – 5 > 0.
Pembahasan:
4×2 – 19x – 5 > 0
(4x + 1)(x – 5) > 0

+    –        +
-1/4        5
Jadi Hp = {x|x < -1/4 atau x > 5}
4.    Tentukan himpunan penyelesaian dari –x2 + x + 2 ≤ x2 – 4x – 1
Pembahasan:
–x2 + x + 2 ≤ x2 – 4x – 1
2×2 – 5x – 3 ≥ 0
(2x + 1)(x – 3) ≥ 0
x ≤ -½ atau x ≥ 3
5.    Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan x2 + (m + 2)x + m+ 5 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real.
Pembahasan:
x2 + (m + 2)x + m+ 5 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real
syarat D < 0
(m + 2)2 – 4(m + 5) < 0
m2 + 4m + 4 – 4m – 20 < 0
m – 16 < 0

+    –        +
-4        4
Jadi  – 4 < m < 4.

http://www.sridianti.com/wp-content/uploads/2014/09/PERTIDAKSAMAAN-KUADRAT.zip

1.    Diketahui A = {6, 7, 8, 9} dan B = {1, 2, 3}. Himpunan pasangan berurutan di bawah ini yang merupakan pemetaan dari A dan B adalah:
a.    {(6, 1), (7, 2), (8, 3)}
b.    {(6, 3), (7, 3), (8, 3), (9, 3)}
c.    {6, 1), (6, 2), (6, 3), (9, 1), (9, 2), (9, 3)}
d.    (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 1), (9, 2), (9, 3)}
e.    {(6, 2), (7, 2), (8, 3), (9, 2), (9, 3)}
Jawab: b. {(6, 3), (7, 3), (8, 3), (9, 3)}
Pembahasan:
Fungsi = {(6, 3), (7, 3), (8, 3), (9, 3)}
2.     Pemetaan berikut yang merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu – satu) adalah: [adsense1]
a.    ({-1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
b.    {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
c.    {(-2, 4), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
d.    {(-3, 9), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
e.    {(-1, 1), (1, 4), (2, 4), (3, 9)}
Jawab: b. {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
Pembahasan:
Fungsi bijektif = korespondensi satu-satu

http://www.sridianti.com/wp-content/uploads/2014/09/soal-persamaan-kuadrat.zip

3.    Diketahui:
A = (1, 2, 3, 4) dan B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Suatu fungsi f : A  B ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Range fungsi f adalah :
a.    {1, 3, 5}
b.    {1, 3, 5, 7}
c.    {1, 5, 7}
d.    {2, 4, 6, 8}
e.    {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Jawab: b. {1, 3, 5, 7}
Pembahasan:
f(x) = 2x – 1
f(1) = 2.1 – 1 = 1
f(2) = 2.2 – 1 = 3
f(3) = 2.3 – 1 = 5
f(5) = 2.4 – 1 = 7
Jadi range fungsi adalah {1, 3, 5, 7}
4.    Suatu relasi di tunjukan oleh himpunan pasangan berurutan {(1, 3), (2, 4), 3, 5), (3, 7), 4, 5)}. Domain dari relasi tersebut adalah:
a.    {1, 2, 3}
b.    {3, 4, 5}
c.    {1, 2, 3, 4}
d.    {1, 2, 3, 7}
e.    {3, 4, 5, }
Jawab: c. {1, 2, 3, 4}
Pembahasan:
Domain = daerah asal
= (1, 2, 3, 4)
5.    Akar-akar dari persamaan x2 + 6x – 7 = 0 adalah:
a.    x1 = -7 dan x2 = 1
b.    x1 = -7 dan x2 = -1
c.    x1 = 1 dan x2 = 7
d.    x1 = 2 dan x2 = 4
e.    x1 = 7 dan x2 = -1
Jawab: a. x1 = -7 dan x2 = 1
Pembahasan:
x2 + 6x – 7 = 0
(x + 7)(x – 1) = 0
x = – 7  x = 1
Jadi akar-akar dari persamaan x2 + 6x – 7 = 0 adalah x1 = – 7 dan x2 = 1
6.    Akar-akar persamaan kuadrat 3×2 – 5x + 2 = 0 adalah :
a.    – 1 dan – 2/3
b.    1 dan 3/2
c.    1 dan 2/3
d.    – 1 dan 3/2
e.    2 dan 3
Jawab: c. 1 dan 2/3
Pembahasan:
3×2 – 5x + 2 = 0
(3x – 2)(x – 1) = 0
x = 2/3    x = 1
7.    Persamaan   mempunyai akar-akar :
a.    3
b.    3 dan -1
c.    – 1
d.    – 3 dan 1
e.    3 dan – 3
Jawab: b. 3 dan – 1
Pembahasan:
= x
x(x – 1) = x + 3
x2 – x – x – 3 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x + 1)(x – 3) = 0
x = – 1   x = 3
8.    Himpunan penyelesaian dari persamaan   adalah :
a.    {x|x = 4  x = 3}
b.
c.
d.
e.
Jawab: e.
Pembahasan :
12×2 + 21x – 8x = -3
12×2 + 13x + 3 = 0
(3x + 1)(4x + 3) = 0
x = -1/3  x = -3/4
9.    Himpunan penyelesaian (k + 2) +  adalah :
a.    {0. 2}
b.    {0}
c.    {2}
d.    {0. 2}
e.    {-2}
Jawab: a. {0, 2}
Pembahasan:
(k + 2) +  (kalikan dengan (k + 2))
(k + 2)2 + 8 – 6(k + 2) = 0
k2 + 4k + 4 + 8 – 6k – 12 = 0
k2 = – 2k = 0
k(k – 2) = 0
k = 0  k = 2
Jadi, Hp = {0, 2}

SOAL ESSAY FUNGSI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
1.    Didefinisikan fungsi f(x) =
a.    Tentukan nilai dominan agar fungsi f terdefinisi
b.    Tentukan nilai f(4)
Pembahasan :
f(x) =
a.     terdefinisi untuk 2x = 5  x ≠ 5/2
Jadi domain fungsi f adalah :
D1 = {x|x ≠ 5/2, x ɛR}
b.    f(4) =
2.    Dengan menggunakan rumus abc, tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ini.
a.    x2 + 3x – 1 = 0
b.    2×2 + x – 5 = 0
Pembahasan:
a.    x2 + 3x – 1 = 0  a = 1, b = 3, c = -1
x1.2 =
=
=
=
Jadi Hp =
b.    2×2 + x – 5 = 0  a = 2, b = 1, c = -5
x1.2 =
=
=
Jadi, Hp =
3.    Jika persamaan 2×2 + 5x + 2 = 0 di ubah ke bentuk a(x – p)2 + q, dengan q bilangan bulat, tentukan nilai a, p, dan q.
Pembahasan:
2×2 + 5x + 2 = 0

Jadi, a = 16, p =  dan q = -9

4.    Ubahlah bentuk berikut ke dalam perkalian 2 faktor liniear.
a.    2×2 + xy – y2 + + x + y
b.    3×2 + xy – 2y2 + 12 x – 13y – 15
Pembahasan:
a.    2×2 + xy – y2 + + x + y = 2×2 + (y + 1)x – y2 + y
x1.2 =
=
x1 =  dan x2 = -y
jadi 2×2 + xy – y2 + x + y = (2x – y)(x + y)
b.    Analog
3×2 + xy – 2y2 + 12x – 13y – 15
= (3x – (2y +3))(x – (y + 5))
5.    Tentukan himpunan penyelesain dari
a.
b.    X2= (x+2)-2x
Pembahasan:
a.     0 dan x

12×2+7x+1=0

hp
b.    x2 =  (x +2) – 2x
2×2 = 3x + 6 – 4x
(2x – 3)(x + 2) = 0
x =  atau x = -2
Hp =

PERSAMAAN KUADRAT
1.    Akar dari x2 – 5x – 3 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari  +  adalah:
a.    125
b.    45
c.    80
d.    170
e.    5
Jawab: d. 170
Pembahasan:
( +  ) =   +  + 3 x2 + 3
+   = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
= (5)3 – 3(-3)(5)
= 125 + 45
= 170
2.    Salah satu akar dari x2 + ax + 12x = 0 adalah 3 kali akar lainnya. Nilai a adalah:
a.    2 atau 6
b.    – 2 atau – 6
c.    – 8 atau 8
d.    8 atau 1/8
e.    – 6 atau -1/6
Jawab: c, -8 atau 8
Pembahasan:
x1 = 3×2
x1 + x2 =  = -a
x1.x2 =  = 12
(3×2)x2 = 12
x2 = 4
x2 = 2 atau     x2 = -2
x1 = 6         x1 = -6
Untuk x1 = 6 dan x2 = 2
Maka x1 + x2 = -a
6 + 2 = -8
a = -8
Untuk x1 = -6 dan x2 = -2 maka,
x1 + x2 = -8
-2 – 6 = -a
a = 8
3.    x1 dan x2 adalah akar dari persamaan kuadrat x2 – 5x – m = 0. Jika x1 : x2 = 2 : 3, maka nilai m adalah:
a.    – 6
b.    6
c.    – 5
d.    5
e.    3
Jawab: a. – 6
Pembahasan:
x1 + x2 = 5 ……………. (1)

Maka 2×2 = 3×1 ……. (2)
x1 + x2 = 5        |x 2|2×1 + 2×2     = 10
3×1 – 2×2 = 0         |x 1|3×1 – 2×2     = 0
5×1    = 10
x1     = 2
x1 + x2 = 5
2 + x2 = 5
x2 = 3
x1.x2 = -m
2.3 = -6
4.    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya – 3 dan 2 adalah:
a.    x2 + x + 6 = 0
b.    x2 + x – 6 = 0
c.    x2 – x + 6 = 0
d.    x2 – x – 6 = 0
e.    x2 + x – 5 = 0
Jawab: b. x2 + x2 – 6 = 0
Pembahasan:
(x –(-3))(x – 2) = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x2 – 2x + 3x – 6 = 0
x2 + x – 6 = 0
5.    Jika α dan β adalah akar-akar persamaan x2 – 11x + 30 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α – 4) dan (β – 4) adalah:
a.    x2 + 3x + 2 = 0
b.    x2 + 3x – 6 = 0
c.    x2 – 3x + 2 = 0
d.    2×2 – 3x + 1 = 0
e.    2×2 + 3x – 1 = 0
Jawab: c. x2 – 3x + 2 = 0
Pembahasan:
x2 – 11x + 30 = 0 akar-akarnya α dan β, maka:
α + β =
α.β =
Sehingga
(α – 4) + (β – 4) = (α + β) – 8
= 11 – 8
=3
(α – 4).(β – 4) = αβ – 4(α + β) + 16
= 30 – 4(11) + 16
= 30 – 44 + 16
= 2
Jadi persamaan kuadrat baru adalah:
x2 – 3x + 2 = 0
6.    Salah satu persamaan kuadrat mx2 – 3x + ½ = 0 adalah dua kali akar yang lain. Nilai m yang memenuhi adalah:
a.    – 4
b.    – 1
c.    0
d.    1
e.    4
Jawab: e. 4
Pembahasan:
mx2 – 3x + ½ = 0 dan x1 = 2×2
x1 + x2 =
2×2 + x2 =
3×2 =
x2 =
x1 = 2
x1.x2 =

4m = m2
m2 – 4m = 0
m(m – 4) = 0
m = 0  m = 4
7.    Akar-akar persamaan kuadrat 2×2 – 3x – 5 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3×1 dan 3×2 adalah:
a.    2×2 – 9x – 45 = 0
b.    2×2 + 9x – 45 = 0
c.    2×2 + 6x – 45 = 0
d.    2×2 – 9x – 15 = 0
e.    2×2 + 9x – 15 = 0
Jawab: a. 2×2 – 9x – 45 = 0
Pembahasan:
PKB f(x) = 2×2 – 3x – 5 = 0
f
=
= 2×2 – 9x – 45 = 0
8.    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan   adalah:
a.    x2 – 2x + 2 = 0
b.    x2 – 2x – 2 = 0
c.    x2 + 2x + 2 = 0
d.    x2 – 2x – 2 = 0
e.    x2 –   = 0
Jawab: b. x2 – 2x – 2 = 0
Pembahasan:
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah:
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x1 = 1 –   dan x2 = 1 +  , maka:
x1 + x2 =   +   = 2
x1 . x2 =    .    = 1 – 3 = -2
Jadi persamaan kuadratnya
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 – 2x – 2 = 0
9.    Jika persamaan x2 + 2px + q = 0 mempunyai dua akar yang berlawanan (x1 = -x2), maka syarat yang harus dipenuhi oleh p dan q adalah:
a.    p = 0 dan q = 0
b.    p = 0 dan q < 0
c.    p = 0 dan q > 0
d.    p > 0 dan q < 0
e.    p > 0 dan q > 0
Jawab: b. p = 0 dan q < 0
Pembahasan:
x2 + 2px + q = 0      x1 + x2 = -2p
x1 . x2 = q
x1 = -x2      x1 + x2 = 0
-2p = 0
P = 0
x1 . x2 < o  q < 0
10.    Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat 4×2 – 2x – 3 = 0, maka persamaa kuadrat yang akar-akarnya (α + 1) dan (β + 1) adalah :
a.    2×2 + 5x + 3 = 0
b.    4×2 – 10x – 3 = 0
c.    4×2 – 10x + 3 = 0
d.    2×2 + 5x – 3 = 0
e.    4×2 + 10x + 3 = 0
Jawab: c. 4×2 – 10x + 3 = 0
Pembahasan:
4×2 – 10x – 3 = 0
α + β =
α . β =
Jika y1 = (α + 1) dan y2 = (β+ 1), maka:
y1 + y2 = (α + 1) + (β+ 1)
= (α + β) + 2
=
y1 . y2 = (α + 1) + (β+ 1)
(α . 1) + (β+ 1) + 1
=
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya y1 dan y2 adalah:
x2 – (y1 + y2)x + y1 . y2 = 0
(dikalikan 4)
4×2 – 10x + 3 = 0

SOAL ESSAY PERSAMAAN KUADRAT
1.    Tentukan persamaan akar kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali lebih besar dari persamaan kuadrat 2×2 + x + 4 = 0
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat 2×2 + x + 4 = 0 didapat:
x1 + x2 =
x1 . x2 =  = 2
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β
α + β = x1 + 2 + x2 + 2
= (x1 + x2) + 4
=
α . β = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1x2 + 2(x1 + x2) + 4
= 2 + 2 (-1/2) + 4 = 5
Persamaan kuadrat baru :
x2 – (α + β)x + α . β = 0

2×2 – 7x + 10 = 0

Persamaan dengan siasat jitu:
x + 2  invers = x – 2
persamaan kuadrat baru:
2(2 – x)2 + (x + 2) + 4 = 0
2×2 – 7x + 10 = 0

2.    Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2×2 – 3x + 5 = 0
Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β
α + β =
α . β =
Persamaan kuadrat baru:
x2 – (α + β)x + α . β = 0

5×2 – 3x + 2 = 0

Penyelesaian dengan siasat jitu:
Dari persamaan 2×2 – 3x + 5 = 0 didapat a = 2, b = -3, c = 5
cx2 + bx + a = 0
5×2 – 3x + 2 = 0

3.    Jika α dan β akar-akar 2×2 – 14x + 3k – 4 =0 dan α2 – β2 = 21, tentukan nilai k.
Pembahasan:
α + β = 7
α2 – β2 = 21
(α – β) (α + β) = 21
7(α – β) = 21
α – β = 3 ….……… (1)
α + β = 7 + ………..(2)
α = 5
Sehingga
2(5)2 – 14(5) + 3k – 4 = 0
k = 8
4.    Jika akar-akar persamaan 2×2 – x + 2 = 0 adalah α dan β. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya –2α dan –2β.
Pembahasan:
2×2 – x + 2 = 0
α + β = ½
αβ = 1
Persamaan kuadrat baru adalah:
x2 –(-2α – 2β)x +(-2α)(-2β)
x2 + 2(α + β)x + 4αβ = 0
x2 + x + 4 = 0
5.    Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x + 2 = 0.
Pembahasan:
PK yang akar-akarnya 5 lebihnya dari akar-akar x2 – 4x + 2 = 0 adalah:
(x – 5)2 – 4(x – 5) + 2 = 0
x2 – 10x + 25 – 4x + 20 + 2 = 0
x2 – 14x + 47 = 0

 

 

1. 225 cm²
2. 200 cm²
3. 180 cm²
4. 150 cm²
5. 120 cm²

Jawab: a. 225 cm²

Pembahasan:

K = 60 2x + 2y = 60

x + y = 30

y = 30 –x

L = p . l = x . y = x(30 – x) = 30x – x²

L_maksimum pada x = [adsense1]

l_maksimum = 30(15) – (15)² = 450 – 225 = 225 cm²

Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, maka bilangan-bilangan tersebut adalah:

1. 4 dan 16
2. 5 dan 15
3. 6 dan 14
4. 8 dan 12
5. 10 dan 10

Jawab: b. 5 dan 15

Pembahasan:

http://www.sridianti.com/wp-content/uploads/2014/08/soal-persamaan-dan-pertidaksamaan-kuadrat.zip

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka:

(i) x + y = 20

Y = 20 – x

(ii) x . y = 75

X . (20 – x) = 75

20 – x² = 75

x² – 20x + 75 = 0

(x – 5)(x – 15) = 0

X = 5 x = 15

Untuk x = 5 → y = 20 – 5 = 15 atau

Untuk x = 15 → y = 20 – 15 = 5

Jadi bilangan-bilangan yang di maksud adalah 5 dan 15.

Panjang suatu persegi panjang adalah 5 m lebih panjang dari lebarnya. Batas – batas lebar persegi panjang itu agar luasnya lebih dari 36 m² adalah:

1. x > 4
2. x ≥ 4
3. x < 4
4. x ≤ 4
5. 0 < x < 4

Jawaban: a. x > 4

Pembahasan:

Misal panjang = y dan lebar = x

y = x + 5

x(x + 5) > 36 x² + 5x > 36 x² + 5x – 36 > 0

(x + 9) (x – 4) x < -9 atau x > 4

 

Sebutir peluru di tembakan vertikal ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan oleh h(t) = 40t – 5t² (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapat di tempuh oleh peluru tersebut adalah :

1. 40 m
2. 80 m
3. 100 m
4. 120 m
5. 150 m

Jawab: b. 80 m

Pembahasan:

Diketahui h(t) = 40t – 5t² (dalam meter)

h_maks = h(4)

= 40 . 4 – 5 . 4²

= 160 – 80 = 80

Jadi, tinggi maksimum yang dapat di tempuh oleh peluru tersebut adalah 80 m.

Untuk memproduksi x unit barang diperlukan biaya total sebesar (9x + 300) ribu rupiah dan total penerimaan dari penjualan sebesar (61x – x²) ribu rupiah. Unit barang yang harus di produksi untuk memperoleh titik impas adalah:

1. 40
2. 45
3. 50
4. 55
5. 60

Jawab: b. 45

Pembahasan:

9x + 300 = 61x – x² x² – 52x + 300 = 0

x₁ = 26 – 2 = 7

x₂ = 26 + 2 = 45

jadi untuk memperoleh titik impas diproduksi = 7 unit barang atau = 45 unit barang.

Sekelompok buruh menerima suatu pekerjaan dengan upah Rp. 462.000,00. Jika salah seorang anggota kelompok itu mengundurkan diri, maka setiap anggota kelompok akan menerima upah Rp. 11.000,00 lebih banyak. Jumlah anggota kelompok buruh tersebut adalah:

1. 4 orang
2. 5 orang
3. 6 orang
4. 7 orang
5. 8 orang

Jawab: d. 7 orang

Pembahasan:

Misalkan banyak anggota kelompok x orang, maka setiap kelompok akan menerima upah sebesar = rupiah. Jika sekarang kelompok buruh itu terdiri dari (x – 1) orang, maka setiap anggota kelompok sekarang menerima upah sebesar rupiah. selisih kedua nilai adalah 11.000 rupiah. sehingga diperoleh:

42x – 42(x – 1) = x(x – 1)

x² – x -42 = 0

(x – 7)(x + 6) = 0

X = 7 x = -6

Jadi, jumlah anggota kelompok buah tersebut adalah 7 orang.

Jumlah dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali bilangan tersebut maksimum, maka bilangan-bilangan yang di maksud adalah:

1. 1 dan 9
2. 2 dan 8
3. 3 dan 7
4. 4 dan 6
5. 5 dan 5

Jawab: e. 5 dan 5

Pembahasan:

Misal bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka:

(i) x + y = 10

y = 10 – x

(ii) x . y = x(10 –x)

= 10 x – x² → a = -1, b = 10, c = 0

Hasil kali maksimum jika:

y = 10 – 5 = 5

jadi bilangan-bilangan yang di maksud adalah 5 dan 5.

B merakit sebuah mesin 6 jam lebih lama daripada A. secara bersama-sama mereka dapat merakit mesin itu dalam 4 jam. Berapa lama waktu yang diperlukan oleh masing-masing jika mereka merakit mesin itu sendiri-sendiri?

1. A 4 jam dan B 10 jam
2. A 5 jam dan B 11 jam
3. A 6 jam dan B 12 jam
4. A 7 jam dan B 13 jam
5. A 8 jam dan B 14 jam

Jawab: c. A 6 jam dan B 12 jam

Pembahasan:

Misalkan waktu yang diperlukan oleh A dan B untuk merakit mesin adalah n jam (n + 6) jam, maka:

n² – 2n – 24 = 0

(n – 6)(n + 4) = 0

n = 6 n = -4 (TM)

jadi waktu yang diperlukan oleh A dan B untuk merakit mesin sendiri-sendiri adalah 6 jam dan 12 jam.

Selisih dua bilangan adalah 8. Hasil kali minimum bilangan-bilangan itu adalah:

1. -16
2. -8
3. -4
4. 8
5. 16

Jawab: a. -16

Pembahasan:

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka:

(i) x – y = 8

y = x – 8

(ii) x . y = x(x – 8)

= x² – 8x → a = 1, b = -8, c = 0

Hasil kali minimum jika:

Hasil kali minimum = 4² – 8 . 4 = 16 – 32 = -16

Seorang pilot terbang sejauh 600 mil. Ia dapat terbang pada jarak yang sama dalam waktu lebih cepat 30 menit apabila ia menaikan kecepatan rata-rata sebenarnya adalah:

1. 100 mil/jam
2. 150 mil/jam
3. 200 mil/jam
4. 250 mil/jam
5. 300 mil/jam

Jawab: c. 200 mil/jam

Pembahasan:

Misalkan kecepatan rata-rata sebenarnya adalah x mil/jam. Waktu terbang 600 mil pada kecepatan x mil/jam – waktu terbang 600 mil pada kecepatan.

Sebesar (x + 40) mil/jam = 30 menit = ½ jam

1.200x + 48.000 – 1 . 200x = x² + 40x

x² + 40x – 48.000 = 0

(x – 200)(x + 240) = 0

x = 200 x = -240

jadi kecepatan rata-rata sebenarnya adalah 200 mil/jam.

Soal Essay

Persamaan kuadrat px² + (2 – 2p)x + p = 0. Mempunyai dua akar real yang berbeda. Tentukan nilai p.

Pembahasan:

Dengan nilai a = p, b = 2 – 2p, c = p maka:

D = (2 – 2p)² – 4 . p . p

= 4 – 8p + 4p² – 4p² = 4 – 8p

Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda maka syaratnya adalah D > 0 sehingga:

4 – 8p > 0

-8p > 4

p < ½

jadi, p < ½

Diketahui x₁, x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x² – 3x + 5 = 0. Tentukan nilai dari:

1. x₁ + x₂
2. x₁ . x₂
3. x²₁ + x²₁

Pembahasan:

x² – 3x + 5 = 0

dengan nilai a = 1, b = -3, c = 5, maka:

1. x₁ + x₂ =
2. x₁ . x₂ =
3. x²₁ + x²₁ = (x₁+ x₂)² – 2x₁ . x₂

= (3)² – 2 . 5 = – 1

2. =

=

=

=

Jika α dan β akar-akar persamaan x² + 2x – 4 = 0, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya .

Pembahasan:

α + β = -2 dan αβ = -4

jumlah akar =

=

=

=

Hasil kali akar =

Jadi, PK baru:

4x² + 6x + 1 = 0

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-3, 0) dan (1, 0) serta memotong sumbu Y di titik (0, 6).

Pembahasan:

Memotong sumbu X di (-3, 0) dan (1, 0) maka y = a(x + 3)(x – 1).

melalui (0, 6) → 6 = -3a

= -2

Jadi persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah:

y = -2(x + 3)(x – 1)

y = -2x² – 4x + 6

Pada persegi panjang ABCD dengan sisi 6 cm dibuat segitiga AEF, sehingga BE = 2 cm dan CF = x cm.

Jika L menyatakan luas segitiga EF, tentukan L_minimum

Pembahasan:

L_AEF = L_ABCD – (L_ABE + L_ADF + L_CEF)

= 36 – (6x + 18 – 3x + 3x – x²

= x² – 6x + 18

L_minimum =

=

=

Tentukan jenis akar akar persamaan kuadrat berikut, tampa terlebih dahulu menuntukan akar akarnya:

1. 2x² + 3x – 14 = 0
2. 3x² – 5x + 2 = 0
3. 2x² + 3x + 4 = 0
4. 4x² – 12x + 9 = 0

Pembahasan :

1. 2x² + 3x – 14 = 0

Dengan nilai a = 2, b = 3, c = -14 maka:

D = 3² – 4 . 2 . (-14)

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0

Mempunyai 2 akar real yang berada.

1. 3x² – 5x + 2 = 0

Dengan nilai a = 3, b = -5, c = maka;

D = (-5)² -4 . 3 . 2

= 25 – 24 = 1

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x² – 5x + 2 = 0 Mempunyai 2 akar real yang berada.

1. 2x² + 3x + 4 = 0

Dengan nilai a = 2, b = -5, c = 4 maka;

D = 3² – 4 . 2 . 4

= 9 – 32 = -23

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar real.

1. 4x² – 12x + 9 = 0

Dengan nilai a = 4, b = -12, c = 9 maka;

D = (-12)² -4 . 4 . 9

= 144 – 144 = 0

Oleh karena D > 0

maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai akar kembar

Jikab persamaan kuadrat kx² + kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar, tentukan nilai k dan tentukan akar akar kembar tersebut

Pembahasan :

Kx² + kx + 3 = 0

Dengan nilai a = k, b = k, c = 3, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar real yang sama syaratnya D = 0 sehingga k² – 4. k . 3 = 0

k² – 12k = 0

k(k – 12) = 0

k = 0 atau k = 0 maka