Bilangan bulat – Apa itu, properti dan contohnya

Relevant Data:

• Bilangan Positif: Bilangan bulat yang lebih besar dari nol, seperti 1, 2, 3, dan seterusnya.
• Nol: Bilangan bulat yang tidak memiliki nilai positif atau negatif, ditunjukkan dengan angka 0.
• Bilangan Negatif: Bilangan bulat yang lebih kecil dari nol, seperti -1, -2, -3, dan seterusnya.
• Garis Bilangan: Representasi visual bilangan bulat pada garis yang memiliki titik nol sebagai pusatnya.

Explanation:

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari angka positif, nol, dan angka negatif. Bilangan bulat digunakan dalam matematika untuk menggambarkan kuantitas atau posisi dalam skala numerik. Bilangan bulat dapat digunakan untuk menghitung, mengukur, atau mewakili konsep-konsep matematika lainnya.

Bilangan positif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol. Contohnya adalah 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan positif digunakan untuk menggambarkan jumlah atau kuantitas yang lebih dari nol.

Nol adalah bilangan bulat yang tidak memiliki nilai positif atau negatif. Nol ditunjukkan dengan angka 0. Nol digunakan sebagai titik referensi dalam pengukuran dan dalam operasi matematika seperti penjumlahan dan pengurangan.

Bilangan negatif adalah bilangan bulat yang lebih kecil dari nol. Contohnya adalah -1, -2, -3, dan seterusnya. Bilangan negatif digunakan untuk menggambarkan nilai yang kurang dari nol atau arah yang berlawanan.

Bilangan bulat juga direpresentasikan pada garis bilangan. Garis bilangan adalah representasi visual bilangan bulat pada garis yang memiliki titik nol sebagai pusatnya. Bilangan positif ditempatkan di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan negatif ditempatkan di sebelah kiri nol. Garis bilangan membantu kita memahami hubungan antara bilangan bulat dan mempermudah operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, dan perbandingan.

Bilangan bulat memiliki sifat-sifat khusus, seperti urutan yang dapat diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar atau sebaliknya. Operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian juga dapat dilakukan pada bilangan bulat.

Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan bulat digunakan dalam berbagai konteks, seperti menghitung jumlah uang, mengukur suhu, membandingkan ketinggian, atau menggambarkan posisi dalam permainan.

Sumber:

1. Hartono, Y. (2015). “Matematika untuk SMA/MA Kelas X.” Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
2. Soedjadi, R. (2014). “Matematika untuk SMA/MA Kelas XI.” Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
3. Anton, H., & Rorres, C. (2010). “Elementary Linear Algebra with Applications.” John Wiley & Sons.
4. Strang, G. (2016). “Introduction to Linear Algebra.” Wellesley-Cambridge Press.

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z.

Apa itu bilangan bulat?

Bilangan bulat adalah himpunan numerik yang mencakup semua bilangan asli, invers negatifnya, dan nol. Artinya, ini adalah angka-angka yang digunakan untuk menghitung, beserta kebalikan negatifnya (1 dan -1). Biasanya, bilangan bulat negatif ditulis dengan tanda (-), yang tidak diperlukan untuk bilangan bulat positif, namun terkadang dapat dilakukan untuk menyorot selisihnya (+1 dan -1).

Himpunan bilangan bulat sesuai dengan huruf Z, berasal dari kata Jerman zahl (“bilangan” atau “kuantitas”). Biasanya direpresentasikan sebagai garis bilangan, dengan nol terletak di tengah dan, dari situ, bilangan positif (Z+) ditampilkan di sebelah kanan dan bilangan negatif (Z-) ditampilkan di sebelah kiri, dalam kedua kasus tersebut memanjang hingga tak terhingga.

Dengan cara ini, bilangan bulat positif tumbuh ke kanan, sedangkan bilangan bulat negatif tumbuh ke kiri. Artinya besaran yang lebih besar menuju tak terhingga positif (+∞) dan lebih kecil menuju tak terhingga negatif (-∞).

Munculnya bilangan bulat memungkinkan peningkatan jumlah kemungkinan operasi dengan bilangan asli, karena bilangan negatif memungkinkan dilakukannya operasi yang lebih kompleks, seperti mengurangkan bilangan yang lebih besar dari suatu bilangan (5 – 7 = -2).

Ini sangat berguna untuk menghitung dan mencatat keuntungan dan kerugian, hutang, dan bahkan besaran tertentu seperti suhu, yang menggunakan nilai di atas nol (positif) dan di bawah nol (negatif).

Karena bilangan asli (N) terkandung dalam bilangan bulat (Z), bilangan asli dianggap sebagai bagian dari bilangan bulat (N ⊂ Z). Pada gilirannya, bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional (Q), karena bilangan bulat tidak memperhitungkan pecahan (Z ⊂ Q).

Lihat juga: Matematika

Definisi Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan simbol \( \mathbb{Z} \). Bilangan bulat mencakup:

• Bilangan bulat negatif:…, -3, -2, -1
• Bilangan nol: 0
• Bilangan bulat positif: 1, 2, 3,…

Secara formal, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai:

\( \mathbb{Z} = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… \} \)

Sifat bilangan bulat

Bilangan bulat memiliki beberapa sifat penting yang digunakan dalam berbagai operasi matematika, antara lain:

• Tertutup terhadap penjumlahan dan pengurangan: Jumlah atau selisih dua bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat.
• Tertutup terhadap perkalian: Hasil kali dua bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat.
• Identitas penjumlahan: Ada elemen identitas (0) di mana untuk setiap bilangan bulat \(a\), berlaku \(a + 0 = a\).
• Identitas perkalian: Ada elemen identitas (1) di mana untuk setiap bilangan bulat \(a\), berlaku \(a \times 1 = a\).
• Invers penjumlahan: Untuk setiap bilangan bulat \(a\), ada bilangan bulat \(-a\) sehingga \(a + (-a) = 0\).
• Distribusi: Perkalian terhadap penjumlahan bersifat distributif, yaitu \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\).

Bilangan bulat, kecuali nol, harus positif (+) atau negatif (-), tetapi sekaligus mempunyai nilai absolut . Nilai absolut (diwakili di antara batang: |z|) adalah jarak antara lokasi suatu bilangan pada garis bilangan dan nol, terlepas dari apakah bilangan tersebut positif atau negatif. Misalnya nilai mutlak 5 dan -5 adalah sama: |5|.

Di sisi lain, dengan bilangan bulat dimungkinkan untuk melakukan operasi yang sama seperti pada bilangan asli, yaitu dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, atau dibagi. Namun, dalam kasus Anda, Anda harus selalu mengikuti aturan yang menentukan tanda hasil.

Standar-standar ini bervariasi menurut pengoperasiannya dan dapat dipahami sebagai berikut:

1. Jumlah

Saat menjumlahkan bilangan bulat, Anda harus memperhatikan penjumlahannya untuk menghitung hasilnya:

• Jika kedua bilangan positif atau salah satu dari keduanya nol, nilai absolutnya biasanya harus dijumlahkan dan tanda positifnya dipertahankan. Contoh: 1 + 3 = 4; 6 + 0 = 6.
• Jika kedua bilangan tersebut negatif atau salah satu dari keduanya nol, nilai absolutnya biasanya harus dijumlahkan dan tanda negatifnya dipertahankan. Misalnya: -1 + -1 = -2 ; -6 + 0 = -6.
• Namun, jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang berbeda, maka nilai mutlak bilangan yang lebih kecil harus dikurangkan dari bilangan yang lebih besar, dan hasilnya akan bertanda bilangan yang lebih besar. Misalnya: -4 + 5 = 1 ; -8 + 4 = -4.

2. Pengurangan

Dalam mengurangkan bilangan bulat juga harus memperhatikan tanda-tanda minuend dan subtrahend, serta manakah di antara keduanya yang mempunyai nilai mutlak terbesar, sebagai berikut:

Jika mempunyai tanda positif:

• Jika minuend (positif) lebih besar dari pengurangan (positif), maka pengurangan akan dilakukan secara normal dan selisihnya bertanda positif. Contoh: 8 – 5 = 3; 7 – 1 = 6.
• Jika minuend (positif) lebih kecil dari pengurang (positif), maka pengurangannya sama dengan selisih kedua bilangan tersebut, namun bertanda negatif. Contoh: 5 – 8 = -3 ; 2 – 9 = -7.
• Jika kedua angkanya positif dan sama, maka hasilnya nol. Misalnya: 5 – 5 = 0 ; 2 – 2 = 0.

Jika tandanya negatif:

• Jika minuend (negatif) lebih besar dari pengurang (negatif), maka pengurangan akan dilakukan secara normal dan hasilnya bertanda negatif. Misalnya: (-5) – (-3) = -2 ; (-9) – (-1) = -8.
• Jika minuend (negatif) lebih kecil dari pengurang (negatif), pengurangnya akan dianggap bilangan positif dan operasinya akan diselesaikan seolah-olah itu adalah penjumlahan. Misalnya: (-2) – (-3) = 1 ; (-5) – (-8) = 3.
• Jika kedua angka tersebut negatif dan sama, maka nilai absolutnya akan dijumlahkan dan hasilnya akan bertanda negatif. Misalnya: (-1) – (-1) = -2 ; (-5) – (-5) = -10.

Jika keduanya mempunyai tanda yang berbeda:

• Jika minuend (positif) lebih besar dari, sama dengan, atau lebih kecil dari pengurang (negatif), biasanya nilai absolutnya akan dijumlahkan dan hasilnya bertanda positif. Misalnya: 9 – (-1) = 10 ; 5 – (-5) = 10 ; 1 – (-9) = 10.
• Jika minuend (negatif) lebih besar dari, sama dengan, atau lebih kecil dari pengurang (positif), biasanya nilai absolutnya akan dijumlahkan dan hasilnya bertanda negatif. Contoh: -8 – 2 = -10 ; -2 – 2 = -4 ; -2 – 8 = -10.

3. Perkalian

Ketika bilangan bulat dikalikan, nilai absolutnya biasanya dikalikan, dan kemudian tanda hasil kali dihitung sebagai berikut:

• Positif dikali positif sama dengan positif. Contoh: 2 x 2 = 4.
• Positif dikali negatif sama dengan negatif. Contoh: 2 x -2 = -4.
• Negatif dikali positif sama dengan negatif. Contoh: -2 x 2 = -4.
• Negatif dikali negatif sama dengan positif. Contoh: -2 x -2 = 4.

4. Pembagian

Saat membagi bilangan bulat, kita melakukan hal yang sama seperti dalam kasus perkalian: kita biasanya beroperasi dengan nilai absolut dan menerapkan prinsip yang menentukan tanda hasil. Misalnya:

• Positif antara positif sama dengan positif. Contoh: 10/2 = 5.
• Positif dibagi negatif sama dengan negatif. Misalnya: 10/-2 = -5.
• Negatif antara positif sama dengan negatif. Contoh: -10/2 = -5.
• Negatif di antara negatif sama dengan positif. Contoh: -10 / -2 = 5.

Contoh bilangan bulat

Tidak sulit untuk menemukan contoh bilangan bulat, karena bilangan asli apa pun pada gilirannya adalah bilangan bulat: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 125, 590, 1,926, 76,409 atau 9,483,920. Dan pada saat yang sama, invers negatifnya adalah: -1, -2, -3, -4, -5, -10, -125, -590, -1,926, -76,409, dan -9,483,920. Satu-satunya syarat adalah bilangan tersebut bukan bilangan pecahan (misalnya ½ atau 4,4).

Contoh lain dari bilangan bulat adalah nol (0).

Berlanjut dengan :

• Bilangan asli
• bilangan prima
• Nomor urut
• angka Romawi

Bilangan Bulat dalam Teori Bilangan

Dalam teori bilangan, bilangan bulat memainkan peran penting, terutama dalam studi tentang sifat-sifat bilangan prima, faktorisasi, dan kongruensi. Beberapa konsep penting yang berkaitan dengan bilangan bulat dalam teori bilangan adalah:

• Bilangan Prima: Bilangan bulat positif yang hanya memiliki dua pembagi positif, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contohnya adalah 2, 3, 5, 7, dan seterusnya.
• Faktorisasi Prima: Proses memecah bilangan bulat menjadi hasil kali bilangan prima. Misalnya, faktorisasi prima dari 28 adalah \(2^2 \times 7\).
• Kongruensi: Dua bilangan bulat \(a\) dan \(b\) dikatakan kongruen modulo \(n\) jika perbedaannya habis dibagi \(n\). Ditulis sebagai \(a \equiv b \pmod{n}\).

Aplikasi Bilangan Bulat

Bilangan bulat memiliki banyak aplikasi praktis dalam kehidupan sehari-hari dan ilmu pengetahuan. Beberapa contoh aplikasi bilangan bulat adalah:

• Matematika Dasar: Operasi aritmetika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
• Komputer dan Pemrograman: Bilangan bulat digunakan untuk perhitungan, pengindeksan array, dan pengaturan loop.
• Ekonomi: Penghitungan keuntungan, kerugian, dan saldo bank.
• Fisika: Pengukuran dan analisis data eksperimen yang sering kali menghasilkan bilangan bulat.

Kesimpulan

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang sangat penting dalam matematika dan berbagai aplikasi lainnya. Dengan memahami sifat-sifat dan aplikasi bilangan bulat, kita dapat memanfaatkannya dalam berbagai konteks, mulai dari perhitungan sehari-hari hingga analisis ilmiah yang kompleks.

Referensi

• Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford: Oxford University Press.
• Rosen, K. H. (2012). Elementary Number Theory and Its Applications. Boston: Pearson.
• Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley.
• Huete de Guevara, M. (1996). Himpunan bilangan bulat . Editorial Universitas Jarak Negeri (UNED).
• Núñez Cabello, R. (2007). Bilangan bulat dan dapat dibagi . Publikasilibros.com.