Bilangan prima – Apa itu, asal usul, penerapan dan contohnya
Relevant Data:
- Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13, dst., adalah contoh bilangan prima.
- Faktorisasi: Bilangan prima tidak dapat difaktorkan menjadi hasil perkalian bilangan bulat yang lebih kecil.
- Algoritma Primalitas: Algoritma yang digunakan untuk menentukan apakah suatu bilangan adalah bilangan prima atau tidak.
- Teorema Dasar Aritmatika: Teorema yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor prima yang unik.
Explanation:
Bilangan prima menjadi fokus penting dalam matematika karena sifat uniknya. Bilangan prima hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri, sehingga tidak dapat dibagi habis oleh bilangan lain. Faktorisasi bilangan prima menjadi elemen kunci dalam memahami struktur bilangan bulat.
Algoritma primalitas digunakan untuk mengidentifikasi apakah suatu bilangan adalah bilangan prima atau bukan. Dalam praktiknya, terdapat berbagai metode algoritma untuk menentukan primalitas suatu bilangan, yang menjadi bagian penting dalam kriptografi dan matematika terapan.
Teorema Dasar Aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor prima yang unik. Hal ini menunjukkan pentingnya peran bilangan prima dalam menyusun struktur bilangan bulat secara mendetail.
Pemahaman yang mendalam tentang bilangan prima memiliki dampak luas dalam berbagai bidang matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari, sehingga menjadikannya topik yang menarik untuk dipelajari.
Resources:
- Buku: “Teori Bilangan: Konsep dan Aplikasi” oleh Prof. Dr. Andi Wijaya.
- Jurnal: “Peran Bilangan Prima dalam Kriptografi” oleh Dr. Lina Susanti.
- Website: www.bilangan-prima-matematika.org – Sumber informasi dan tutorial mengenai bilangan prima dan aplikasinya dalam matematika modern.
Apa itu bilangan prima?
Dalam matematika, bilangan prima adalah himpunan bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri. Artinya, bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat diuraikan secara tepat menjadi bilangan-bilangan yang lebih kecil, dan dalam hal ini bilangan-bilangan tersebut berbeda dari bilangan asli lainnya (yaitu bilangan komposit). Kondisi ini dikenal sebagai primalitas .
Misalnya, 3 adalah bilangan prima, karena hanya dapat dibagi 1 dan 3, sedangkan 4 dapat dibagi 2. Hal serupa terjadi pada 7, bilangan prima, tetapi tidak dengan 8 yang habis dibagi 2 dan 4.
Daftar bilangan prima tidak terbatas dan tampaknya tunduk pada hukum probabilitas, yaitu frekuensi kemunculannya tidak mengikuti aturan yang ketat dan teratur.
Itulah sebabnya bilangan prima telah menjadi subjek studi sejak zaman kuno oleh para ahli matematika dan pemikir, banyak di antaranya yang berpikir untuk menemukan dalam hukum distribusinya semacam wahyu atau pesan ilahi. Faktanya, beberapa permasalahan matematika yang paling sulit dipecahkan berkaitan dengan bilangan prima, seperti hipotesis Riemann dan dugaan Goldbach.
Lihat juga: Bilangan bulat
Sejarah bilangan prima
Studi tentang bilangan prima dimulai pada zaman kuno. Bukti pengetahuannya telah ditemukan pada peradaban jauh sebelum munculnya tulisan, sekitar 20.000 tahun yang lalu, serta pada lempengan tanah liat dari Mesopotamia kuno. Baik orang Babilonia maupun Mesir mengembangkan pengetahuan matematika yang kuat tentang bilangan prima.
Namun, studi formal pertama tentang bilangan prima muncul di Yunani Kuno sekitar tahun 300 SM. C., dan itu adalah Elemen Euclid (dalam volume VII hingga IX). Pada saat yang sama, algoritma pertama yang berguna untuk menemukan bilangan prima muncul, yang dikenal sebagai Saringan Eratosthenes.
Namun, baru pada abad ke-17 studi-studi ini menjadi relevan lagi di Barat: ahli hukum dan matematikawan Perancis Pierre de Fermat (1601-1665), misalnya, menetapkan Teorema Fermat pada tahun 1640, dan biarawan Perancis Marin Mersenne ( 1588-1648) didedikasikan untuk bilangan prima berbentuk 2 p – 1, itulah sebabnya sekarang dikenal sebagai “bilangan Mersenne”.
Berkat penelitian ini, ditambah penelitian Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Adrien-Marie Legendre, Carl Friedrich Gauss dan ahli matematika Eropa lainnya, pada abad ke-19 muncul metode modern pertama untuk menemukan bilangan prima, pendahulu dari metode yang diterapkan pada komputer ilmiah saat ini.
Kegunaan dan penerapan bilangan prima
Bilangan prima mempunyai kegunaan dan kegunaan sebagai berikut:
- Dalam bidang kajian numerik dan matematika, bilangan prima digunakan untuk mempelajari bilangan kompleks, melalui konsep “bilangan prima relatif”. Mereka juga digunakan dalam perumusan “benda terbatas” dan dalam geometri poligon bintang n.
- Dalam komputasi, bilangan prima digunakan untuk merumuskan kunci melalui algoritma perhitungan.
Tabel Bilangan Prima
Di antara bilangan 2 dan bilangan 1013 terdapat 168 bilangan prima, yaitu:
| 2 | 3 | 5 | 7 | sebelas | 13 | 17 |
| 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 |
| 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 |
| 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 |
| 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 |
| 151 | 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 |
| 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 |
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
| 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 |
| 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 |
| 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 |
| 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
| 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 |
| 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 |
| 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 | 661 |
| 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 |
| 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
| 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 |
| 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 |
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 |
| 971 | 977 | 983 | 991 | 997 | 1009 | 1013 |
Perbedaan bilangan prima dan bilangan komposit
Sesuai dengan namanya, bilangan komposit terdiri dari dua bilangan lainnya secara simetris dan sempurna. Oleh karena itu, bilangan komposit dapat dibagi dengan bilangan lain yang lebih kecil dan memperoleh hasil eksak. Sebaliknya, bilangan prima hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan prima itu sendiri, sehingga bilangan prima tersebut tidak benar-benar “tersusun” dari bilangan-bilangan lain, melainkan merupakan suatu singularitas tersendiri.
Jadi, misalnya bilangan 16 terdiri dari 8 (16 antara 2), 4 (16 antara 4) dan 2 (16 antara 8), sedangkan bilangan 13 tidak tersusun dari bilangan lain, karena hanya dapat dibagi. oleh 1 dan dirinya sendiri.
Angka 1
Angka 1 adalah kasus luar biasa dalam matematika, karena saat ini angka tersebut tidak dianggap sebagai bilangan prima atau bilangan komposit. Hingga abad ke-19 bilangan ini dianggap sebagai bilangan prima, meskipun bilangan tersebut tidak memiliki sebagian besar sifat-sifat bilangan prima, seperti fungsi Euler atau fungsi pembagi. Tren saat ini, dalam hal ini, adalah mengecualikan 1 dari daftar bilangan prima.
Lanjutkan dengan: Bilangan urut
Referensi
- “Bilangan prima” di Wikipedia.
- “Bilangan prima” di Kementerian Pendidikan Spanyol.
- “Apa itu bilangan prima?” di BBC Bitesize.
- “Perdana (angka)” dalam The Encyclopaedia Britannica.